作者: [法] 米卡埃尔·洛奈（Mickaël Launay）
出版社: 人民邮电出版社
出品方: 图灵新知
副标题: 理解世界的乐趣
原作名: Le théorème du parapluie: ou L'art d'observer le monde dans le bon sens
译者: 欧瑜
出版年: 2023-6
- 对于所有这些数据，本福特每次得到的观察结果都和我们的一样：首位数字分布不均衡。其中约有30% 的数以1开头，18% 的数以2开头，这一百分比持续下降，直到数字9，以9开头的数仅占5%
- 本福特定律理解起来并不复杂，但解释起来几句话说不清楚。这条定律背后的数学原理简单而深刻。我们面对的不是一道忽然间顿悟并惊呼“啊，原来如此，我明白了！”就能得出答案的谜题。需要改变的是我们对数字的理解和计数方式。如果说本福特定律在我们看来并非一目了然，那是因为我们的思维方式不对头。我们必须学会从不同的角度去看待自以为已经很了解的事物，我们必须审视自己。
- 那么，如何才能把这些直觉性的思考纳入数学的范畴呢？答案就在数量级这个微妙的概念之中。
- 基本的思路很简单，但功能非常强大。按数量级去思考，就是采取乘法思维，而不是加法思维。
- 在我们比较两个数时，无论比较的背景为何，大多数时候，我们会本能地以乘法思维去思考。如果在你常去的超市里，一件价格为200欧元的产品涨了8欧元，这或许会让你感到有些不快，但如果是2欧元的产品涨了8欧元，你就会感到大为不快了。因为在后一种情况中，价格变成了10欧元，相当于原来的5倍！这就不止是让人感到不快了，而是让人觉得上当受骗。但是，二者的增量却是一样的。
- 回过头来想想你所有的感觉：触觉、视觉、味觉、听觉、嗅觉。甚至还可以想想你对逝去的时间、通过的距离的感知，并以更为主观的方式想想你情绪的强烈程度。一旦开始以乘法而非加法的思维去思考这些事物，你就会更好地适应所有这些朝你扑面而来的感知了。
- “切中要点”总会带来一种挖掘出某些深刻而珍贵之物的兴奋感、一种揭开了神秘面纱的兴奋感。不变量揭示了将不同先验事物聚集在一起的东西。这是一种共同点，就像隐藏在后台的齿轮，一旦让它露出真容，你就会因为了解了事物的运转原理而获得这种既欢欣又从容的满足感。
- 如果你不如鸽子灵巧，那就让鸽子变得不如你灵巧。解决重大问题并不总是得更聪明、更强大或更迅速。最重要的是找到窍门。
- 纳皮尔花了二十多年才发展出这一理论并制定出加法 / 乘法表。他当然是在没有计算器的情况下进行的。所有的计算都是他手工完成的。他在1614年发表了一部名为《奇妙的对数表的描述》(Mirifici logarithmorum canonis descriptio)的作品，并借机发明了“对数”这个词，用来指称乘法世界和加法世界之间的那座桥梁。更确切地说，对数是从乘法轴到加法轴的通道：8的对数是3，16的对数是4，依此类推。
- 在一份没有特殊风格的普通文本中，E 占去了所用字母中的15.87%，约为仅占0.24% 的字母Y 的66倍。我们可以在售卖备用部件的网店买到单个的替换键帽。你会毫不意外地看到，销售量最高的替换键帽是E 键，A 键和N 键紧随其后。
- 温度的例子更加引人入胜。1742年，瑞典天文学家安德斯·摄尔修斯(Anders Celsius)为自己的气象研究设计了一种新型温度计，并获得了巨大的成功，他的名字也被用作这种温度计温标的单位，称为“摄氏度”。时至今日，绝大多数温度计以摄氏度为单位。
- 在接下来的路途中，我们还会用到很多雨伞。雨伞，是观点的改变，是差异，是从另一个角度看待事物的艺术，一种更适合、更有效的角度。
- 为此，数学家制造出很多导航工具，其中有两个指南针：一个名叫“实用”，一个名叫“优雅”。“实用”引导我们创造出最贴近现实的抽象世界，在这些抽象世界中进行的研究能够轻松地转化为关于我们宇宙的知识。“优雅”告诉我们要完全抛开现实，并沉醉在抽象世界的奇观中。那里有许许多多美丽的事情要做——如果一件事是无用的，那它就更美了
- 凡旋转的都在掉落：卫星朝着行星掉落，行星朝着太阳掉落。而在牛顿之后很久，天文学家们还会发现，我们在天空中看到的所有星星都在以一种螺旋运动的形式相互掉落，就此形成了我们的星系——银河系。
- 这一如此简单而深奥的原理，将如此的优雅与力量集于一身。万物落在万物之上，一刻不停，一切都得到了解释。
- 牛顿选择用一种从未在天文学上使用过的数学概念将其模型化，而今天，我们把这一概念称为向量。向量，从某种意义上来说，就是一种带有指南针的数。如果你把一个向西的数和一个向南的数加起来，就会获得一个向西南的数。很抽象，但行得通！得益于这种表述和其他一些描述，一切都奇迹般地进展顺利。牛顿成功地用简明而优雅的数学对引力做出了描述。现在，他可以计算苹果、月球、行星和所有受到引力的物体的轨道了。
- 事实胜于雄辩。你的理论可以富丽堂皇，满是强大而令人信服的论据，处处可见华丽的数学证明，但如果现实说了“不”，那就是“不”。
- 事后对失败者进行评判，总是很容易，但针锋相对的论战绝对是知识进步的必要条件。
- 在几个世纪中，亚里士多德的错误理论在丝毫没有受到质疑的情况下被教授和传播，这等于浪费了大量的时间。科学的进步总会伴随着令人扫兴的事情。如果一种理论能够抵御对它最为致命的攻击，那么这些攻击也会变为成就这一理论的主要推手。
- 《世界概况》中测得的加拿大海岸线的长度是202080千米，而世界资源研究所测得的长度则是265523千米。两个测量值之间相差了60000多千米！长度差异再一次超过了30%。而地球上几乎所有的海岸线都遇到了类似的情况。
- 曼德博的结论毋庸置疑，我们越是精确地测量英国的海岸线，其长度就会越长。添加越来越小的细节只会令测量值无限度地增加（图3.2）。如果我们不想做出任何让步，那么这个问题的唯一答案就是：英国的海岸线无限长。
- 卡斯纳决定把这个数叫作“古戈尔”(googol)。这个词是他9岁的外甥创造出来的，后来成了企业家谢尔盖·布林(Sergey Brin)和拉里·佩奇(Larry Page)的灵感之源。当年，两人创建了一个用于信息搜索的网站，也就是后来的谷歌(Google)。
- 这些计算直捣人心，它们就艺术创造的本质向我们发出了声声考问。撰写书籍究竟是发明还是发现？一个作家能否声称自己创造了什么？因为他 / 她出版的每一本书都不过是数学的抽象巨型图书馆中业已存在的某一本书的有形实现。
- 我们就以图像为例。数码相机就像你的眼睛，无法捕捉到无穷无尽的不同颜色和形状。数码相机受限于像素，人眼受限于视网膜中数量有限的感光细胞。**诚然，在正常的一生中，一个人永远无法看到两次完全相同的事物，场景总会发生微小的变化。但如果你获得了永生，情况就会大不相同。**你的眼睛可能看到的潜在图像的数量会是巨大的，但仍是有限的，而当你达到了一个非常大的年龄时，你就注定只能看到那些你已经见过的事物。
- 对数学界来说，这种构造犹如一种启示。就在此前几年，还没有人会相信一条线可以填满整个面。佩亚诺曲线成功地把狄多的切割推向了无穷。迦太基城创始人的牛皮条很细，但仍有一定的厚度。如果狄多能够切割出佩亚诺曲线，那么这条曲线就能把整个地球、太阳系、银河系等统统收入囊中
- 总的来说，我们可以把这些思考简化成一个句子：一个图形的维度是定位该图形的点的位置所需坐标的个数。一个坐标：一维。两个坐标：二维。三个坐标：三维。
- 模糊的关键在于不变的概念。对象各有不同，但由于存在共同点而理应具有相同的名称。情况各有不同，但可能以相同的方式运转。研究这些共同点和运转方式，相当于一下子想到千百种不同的事物，却不知所言为何物。这么做绝非徒劳之举，而是一个丰富的过程，可以引导我们对世界具有全面和深刻的了解。
- 我们所说的模糊、不精确或模棱两可，实际上有一个我们已经知道的名字：抽象。
- 平面球形图都是变形的。因为地球是圆的，或者说几乎是圆的，而地图是平的，所以必须扭曲现实才能将地球转换成地图。相等的距离在地球仪上和在地图上可能会有所不同，反之亦然。图4.14中的航线图是用墨卡托投影绘制的。在这幅图中，两极附近的区域比赤道附近的区域大。格陵兰岛看上去比美国还大，但实际上前者是后者的1/5。
- 小时候在坐火车时，我有时会站在列车中间的走廊里做跳跃实验。我心想，跳在空中的时候，我就不再和火车有接触了，那么它就不会再带着我一起前进了
- E=mc2
- 老实说，卡路里是个古老的单位，现在已经被科学家们弃用。科学家们现在只使用焦耳。但由于单位的使用不总会遵循物理学家的建议，因此卡路里在营养学中仍被广泛使用，所以这两个单位一般都被标示在营养成分表中。
- 物理学家之所以如此青睐能量，首先是因为能量是宇宙的至高不变量。无论你做什么，一个系统的整体能量都将保持不变。
- 爱因斯坦的想法往往相当激进。这位德国物理学家不是一个喜欢修补蹩脚理论的人。在出现问题时，他就将一切夷为平地，以便重建其他东西。就像光速的问题，爱因斯坦将通过改变几何来彻底改变引力。他的假设很简单，但很强大：我们生活在非欧几何中会是怎样一番情形？在这样一种变形几何中，《几何原本》和《原理》中的定理将不会完全为真。
- 因此，时空是一种弹性物质，只要里面有质量，其几何就会发生变形。而正是在这种几何中，天体的轨迹才遵循其路线。质量改变了几何，几何改变了质量的轨迹。通过这种时空和物质之间的永恒交换，巨大的天体时钟运转不停。
- 时空呈现为一个二维网格，太阳的质量在这个网格中挖了一个洞，就好像它被放置在一张有弹性的画布上。其原理有点儿类似于绘制世界地图的原理：想要理解各大洲的变形和飞机的轨迹，你就得把这张地图放置在三维地球仪上。平面球形图的变形可以用我们星球的曲率来解释。同样，这种描绘通过时空的曲率解释了爱因斯坦的几何。就好像每个天体都在里面挖了一个洞，天体越重，洞就越大。因此，从太阳的一侧到另一侧，绕过它的路线确实要比进入洞内的路线要短。